Если взять параболу, то кривая Делонэ обращается в цепную линию, а так как подэр параболы из фокуса есть прямая, то и получаем следующее интересное свойство: при качении прямой по цепной линии, одна из точек подвижной плоскости (не лежащая на этой прямой) описывает прямую, именно — директрису данной цепной линии.
Указанный способ получения семейства родственных кривых устанавливает между всеми кривыми семейства определенное соответствие по точкам, вообще говоря, взаимно-однозначное (за исключением случаев колебательного движения точек по своим траекториям).
Но вместе с тем каждое движение устанавливает соответствие и между двумя плоскостями, подвижной и неподвижной, причем соответствующими элементами служат: точка подвижной плоскости и кривая неподвижной. Рассматривая кривую на подвижной плоскости как ряд точек, найдем на неподвижной плоскости ряд кривых. Огибающую их будем считать кривою, соответствующею данной.
С другой стороны, различные положения самой данной кривой тоже дают огибающую, которую также можно считать соответствующею данной. Оказывается, что обе огибающие совпадают. Имеем теорему: огибающая траекторий точек, лежащих на кривой, есть в то же время огибающая всех положений этой кривой.
Дифференциальная геометрия. Кривые на поверхностях
Пусть имеем кривую К, неизменно связанную с подвижкой полодией с. Приведем из полюса Р нормаль РМ к этой кривой. Тогда направление движения точки М в данный момент будет перпендикулярно к РМ, иначе говоря, касательная к траектории этой точки будет в то же время и касательной к кривой К, но в этой же точке кривая К касается своей огибающей, так как их общая нормаль должна с проходить через полюс.
С другой стороны, траектория бесконечно близкой точки кривой К имеет общий элемент дуги с первой траекторией, а потому огибающая этих траекторий касается траектории точки М в самой же точке М.
Таким образом точка М есть общая точка касания обеих огибающих, а так как это верно для всякого момента, то геометрическое место точек М есть одновременно и огибающая различных положений кривой К, и огибающая траекторий разных точек этой кривой.
Дифференциальная геометрия: плоские кривые
Чтобы представить семейство кинематически родственных кривых аналитически, воспользуемся представлением движения плоской фигуры как составленного из поступательного движения по заданной траектории и вращения вокруг точки, которую мы и выберем за начало координат. Для определения движения достаточно знать координаты этого подвижного начала, как функции угла поворота.
Будем считать угол положительным при вращении по часовой стрелке. Тогда координаты точки выразятся формулами, которые отличаются от известных формул преобразования координат заменой 0 на — 0.
Имея в виду, что общая касательная к полодиям составляет с подвижными осями углы, косинусы которых равны, а с неподвижными соответственно по уравнению.
Определяем координаты подвижного начала.